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高等数学(工本)

空间解析几何与向量代数

距离公式

|P1P2|=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2

加法

OA+OB=OCOA+AC=OCOAOB=BA

向量坐标

M1M2={(x2x1),(y2y1),(z2z1)}α={a1,a2,a3},β={b1,b2,b3}α//βa1b1=a2b2=a3b3

数量积

αβ=|α||β|cosφαβαβ=0

数量积的坐标表示

α={a1,a2,a3},β={b1,b2,b3}αβ=a1b1+a2b2+a3b3

平面方程

点法式

P0(x0,y0,z0),非零向量n={A,B,C}nP0P=0A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)0

一般方程

Ax+By+Cz+D=0

截距式方程

xa+yb+zc=1

两个平面夹角

n1={A1,B1,C1},n2={A2,B2,C2}cosθ=n1n2|n1||n2|=|A1A2+B1B2+C1C2|A12+B12+C12A22+B22+C22

点到平面距离

d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2

直线方程

对称式方程

xx0l=yy0m=zz0n

参数方程

xx0l=yy0m=zz0n{x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt,

一般方程

{A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0,

直线的夹角

v1={l1,m1,n1},v2={l2,m2,n2}cosθ=v1v2|v1||v2|=|l1l2+m1m2+n1n2|l12+m12+n12l22+m22+n22

直线与平面夹角

v={l,m,n},n={A,B,C}sinθ=vn|v||n|=|lA+mB+nC|l2+m2+n2A2+B2+C2

多元函数的微分学

偏导数

limΔx0ΔFΔx=limΔx0f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)Δx

全微分

dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy

复合函数偏导数

dzdx=zududx+zvdvdx

隐函数偏导数

dydx=FxFy

偏导数应用

无条件极值

1. 解方程组
{fx(x,y)=0fy(x,y)=0

求出f(x,y)的全部驻点

2. 对每个驻点计算
A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),Δ=B2AC
3. 判断
  1. Δ<0,点(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点,当A<0时,f(x0,y0)是极大值,当A>0时,f(x0,y0)是极小值
  2. Δ>0,点(x0,y0)不是函数f(x,y)的极值点
  3. Δ=0,不能判断

条件极值

1. 构造拉格朗日函数
L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)
2. 解方程组
{Lx=fx(x,y)+λφx(x,y)=0Ly=fy(x,y)+λφy(x,y)=0φ(x,y)=0

空间曲线的切线与法平

线L{x=x(t)y=y(t)z=z(t)LP0(x0,y0,z0)LP0{x(t0),y(t0),z(t0)}
切线方程
xx0x(t0)=yy0y(t0)=zz0z(t0)
法平面方程
x(t0)(xx0)+y(t0)(yy0)+z(t0)(zz0)=0

空间曲面的切平面与法线

ΣF(x,y,z)=0ΣP0(x0,y0,z0)ΣP0{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
法线方程
xx0Fx(x0,y0,z0)=yy0Fy(x0,y0,z0)=zz0Fy(x0,y0,z0)
切平面方程
Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0

方向导数

zl=zxcosα+zycosβ

梯度

gradf(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)i={fx(x0,y0),fy(x0,y0)}

重积分

二重积分性质

性质一

Dkf(x,y)dσ=kDf(x,y)dσ

性质二

D(f(x,y)±g(x,y))dσ=Df(x,y)dσ±Dg(x,y)dσD(af(x,y)±bg(x,y))dσ=aDf(x,y)dσ±bDg(x,y)dσ

性质三

Df(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσ

性质四

f(x,y)g(x,y)Df(x,y)dσDg(x,y)dσ|Df(x,y)dσ|D|f(x,y)|dσ

性质五

mf(x,y)Mm|D|Df(x,y)dσM|D|(|D|D)

性质六

Df(x,y)dσ=f(ξ,η)|D|f(x,y)=1Df(x,y)dσ=D1dσ=Ddσ=|D|

直角坐标下的二重积分